Question

16．已知動點(diǎn)P到定點(diǎn)F（p，0）和到直線x=-p（p＞0）的距離相等．
（Ⅰ）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)F的直線l交（Ⅰ）中軌跡C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線的準(zhǔn)線上，且BD∥x軸．證明直線AD經(jīng)過原點(diǎn)O．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，利用拋物線定義得到動點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，以直線x=-p（p＞0）為準(zhǔn)線的拋物線，求出動點(diǎn)P的軌跡C的方程即可；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F的直線l的方程可設(shè)為x=my+p，代入拋物線解析式，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出y₁y₂，由BD與x軸平行，且在拋物線準(zhǔn)線上，設(shè)出D坐標(biāo)，進(jìn)而表示出$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OD}$，利用平面向量運(yùn)算法則判斷出$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OD}$共線，且有公共點(diǎn)，即可得證．

解答 （Ⅰ）解：∵動點(diǎn)P到定點(diǎn)F（p，0）和到直線x=-p（p＞0）的距離相等，
∴由拋物線定義知，動點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，以直線x=-p（p＞0）為準(zhǔn)線的拋物線，
則軌跡C的方程是y²=4px；
（Ⅱ）證明：經(jīng)過點(diǎn)F的直線l的方程可設(shè)為x=my+p，
代入拋物線方程得：y²-4pmy-4p²=0，
若記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁，y₂是該方程的兩個根，
∴y₁y₂=-4p²，
∵BD∥x軸，且點(diǎn)D在準(zhǔn)線x=-p上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-p，y₂），
∴$\overrightarrow{OA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{OD}$=（-p，y₂），
∵x₁y₂+py₁=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{y}_{2}}{4p}$+py₁=$\frac{-4{p}^{2}{y}_{1}}{4p}$+py₁=-py₁+py₁=0，
∴向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}$共線，且$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}$有共同的起點(diǎn)O，
則直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．

點(diǎn)評 此題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，拋物線的定義，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，熟練掌握拋物線的定義是解本題的關(guān)鍵．