Question

20．已知兩個單位向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$，設(shè)向量$\overrightarrow c=\overrightarrow a+t\overrightarrow b$，其中t∈R，當(dāng)$|{\overrightarrow c}|$取最小值時，t=$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得$|{\overrightarrow c}|$²=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，由二次函數(shù)的最值可得．

解答 解：由題意可得$|{\overrightarrow c}|$²=$（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow）^{2}$
=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2t$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${t}^{2}{\overrightarrow}^{2}$
=1+2t×$1×1×\frac{1}{2}$+t²
=t²+t+1=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
由二次函數(shù)可知當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時，$|{\overrightarrow c}|$²取最小值$\frac{3}{4}$，
∴當(dāng)$|{\overrightarrow c}|$取最小值$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，t=$-\frac{1}{2}$
故答案為：$-\frac{1}{2}$

點(diǎn)評 本題考查平面向量的模長公式，涉及二次函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題．