Question

12．設(shè)向量$\overrightarrow a=（λ+2，{λ^2}-\sqrt{3}cos2α）$，向量$\overrightarrow a=（m，\frac{m}{2}+sinαcosα）$，其中λ，m，α為實(shí)數(shù)．若向量$\overrightarrow a=2\overrightarrow b$，則$\frac{λ}{m}$的取值范圍為[-6，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow$λm，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換，求出m的取值范圍，再求$\frac{λ}{m}$的取值范圍即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a=（λ+2，{λ^2}-\sqrt{3}cos2α）$，向量$\overrightarrow a=（m，\frac{m}{2}+sinαcosα）$，向量$\overrightarrow a=2\overrightarrow b$，
∴$\left\{\begin{array}{l}λ+2=2m…①\\{λ}^{2}-\sqrt{3}cos2α=m+2sinαcosα…②\end{array}\right.$，
把①代入②得，（2m-2）²-$\sqrt{3}$cos2α=m+sin2α，
∴4m²-9m+4=sin2α+$\sqrt{3}$cos2α=2sin（2α+$\frac{π}{3}$），
∴-2≤4m²-9m+4≤2；
解得$\frac{1}{4}$≤m≤2；∴$\frac{2}{m}∈[1，8]$，$-\frac{2}{m}∈[-8，-1]$
∴$\frac{λ}{m}$=$\frac{2m-2}{m}$=2-$\frac{2}{m}$∈[-6，1]．
故答案為：[-6，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角恒等變換的應(yīng)用問(wèn)題，還考查了求函數(shù)的最值問(wèn)題，是綜合題．