Question

【題目】定義在D上的函數(shù)f（x），若滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．

（1）設(shè)，判斷f（x）在上是否是有界函數(shù)．若是，說(shuō)明理由，并寫出f（x）所有上界的值的集合；若不是，也請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）若函數(shù)g（x）＝1＋2x＋a·4x在x∈[0，2]上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）是有界函數(shù), 所有上界的值的集合為,理由見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）先分析得到函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，再利用有界函數(shù)的定義判斷得解.(2)由題得在上恒成立，所以．令，則，故在上恒成立，再分析函數(shù)的最值得解.

（1），則在上是增函數(shù)，

所以，

所以，

所以，所以是有界函數(shù)．

故所有上界的值的集合為．

（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，

所以在上恒成立，即，所以，所以．

令，則，故在上恒成立，

故，，

即．

故實(shí)數(shù)的取值范圍為．