Question

9．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2AD=2AA₁=2，P為A₁B₁中點．
（Ⅰ）求證：CP⊥平面AD₁P；
（Ⅱ）求點P到平面ACD₁的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用勾股定理，證明CP⊥AP，CP⊥D₁P，即可證明CP⊥平面AD₁P；
（Ⅱ）利用等體積求點P到平面ACD₁的距離．

解答 證明：（Ⅰ）Rt△ABC中，AB=2，BC=1，
∴AC=$\sqrt{5}$，
同理D₁C=$\sqrt{5}$，AP=$\sqrt{2}$
同理，Rt△D₁A₁P中，D₁P=$\sqrt{2}$，
連接C₁P，Rt△CCP中，CC₁=1，C₁P=D₁P=$\sqrt{2}$，
∴CP=$\sqrt{3}$，
∴CP²+AP²=AC²，CP²+D₁P²=D₁C²，即CP⊥AP，CP⊥D₁P，
又AP∩D₁P=P，
∴CP⊥平面AD₁P．
解：（Ⅱ）△ACD₁中，AC=D₁C=$\sqrt{5}$，AD₁=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△AC{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
△AD₁P中，AD₁=AP=D₁P=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△A{D}_{1}P}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)點P到平面ACD₁的距離為h，
由等體積，得$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$，
∴h=1，
即點P到平面ACD₁的距離為1．

點評 本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積，正確運用等體積是關(guān)鍵．