Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-x-

1

a

）×e^ax（a＞0）．
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對于任意x∈[0，2]，恒有f（x）+

2

a

≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）a=2時，f（x）=（x²-x-

1

2

）e^2x，得到f′（x）=2e^2x（x²-1），從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）令g（x）=（x²-x-

1

a

）•e^ax+

2

a

，通過求導得出g（x）_min=g（1）=

1

a

（2-e^a），從而只需2-e^a≥0即可，進而解出a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）a=2時，f（x）=（x²-x-

1

2

）e^2x，
∴f′（x）=2e^2x（x²-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
（Ⅱ）令g（x）=（x²-x-

1

a

）•e^ax+

2

a

，
∴g′（x）=e^ax（ax+2）（x-1），
∵a＞0，x∈[0，2]，∴e^ax（ax+2）＞0，
令g′（x）＞0，解得：1＜x≤2，
令g′（x）＜0，解得：0≤x＜1，
∴g（x）在[0，1）遞減，在（1，2]遞增，
∴g（x）_min=g（1）=

1

a

（2-e^a），
∴只需2-e^a≥0即可，
∴0＜a＜ln2．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查導數(shù)的應用，求參數(shù)的范圍，是一道中檔題．