Question

已知函數(shù)f（x）=x（x²-a）（a∈R），g（x）=lnx．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求f（x）的極大值；
（2）若在區(qū)間[1，2]上f（x）的圖象在g（x）圖象的上方（沒有公共點），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，利用f（x）在x=1處取得極值，求出a，然后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求f（x）的極大值；
（2）利用在區(qū)間[1，2]上f（x）的圖象在g（x）圖象的上方（沒有公共點），得到不等式，構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的導數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與最值，求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=x³-ax，f'（x）=3x²-a，由f'（1）=0，∴a=3…（2分）
從而f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
∴在x∈（-∞，-1）時，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)
x∈（-1，1），f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
x∈（1，+∞）f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)…（4分）
∴f（x）極大值：f（-1）=2…（5分）
（2）由題意知f（x）＞g（x）在區(qū)間[1，2]上恒成立，即x（x²-a）＜lnx…（7分）
從而a＜x2-

lnx

x

…（8分）
記h(x)=x2-

lnx

x

，h′(x)=2x-

1-lnx

x2

=

2x3-1+lnx

x2

…（10分）
當x∈[1，2]時，2x³-1≥1，lnx≥0，
∴h'（x）＞0
∴h（x）在[1，2]單調(diào)遞增，…（12分）
從而 h（x）_min=h（1）=1，
∴a＜1…（13分）

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，求解閉區(qū)間上的最值，極值單調(diào)性的判斷，構(gòu)造函數(shù)和轉(zhuǎn)化思想的應用是本題解答的關(guān)鍵．