Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0，f（x）=x²-4x
（1）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（3）求滿足方程f（x）=-5的解．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，及x≥0時，f（x）=x²-4x可得到函數(shù)f（x）的圖象；
（2）當(dāng)x＜0時，-x＞0，結(jié)合x≥0，f（x）=x²-4x，及f（-x）=-f（x）可得x＜0時，函數(shù)的解析式，最后綜合討論結(jié)果，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（3）分當(dāng)x＜0時和當(dāng)x≥0時，兩種情況求解方程f（x）=-5，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解 （1）∵當(dāng)x≥0時，f（x）=x²-4x，
又由奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
故函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：
  （4分）    
（2）∵當(dāng)x≥0時，f（x）=x²-4x，
∴當(dāng)x＜0時，-x＞0，
f（-x）=x²+4x=-f（x）．
∴f（x）=-x²-4x，
∴f(x)=

x2-4x x≥0 -x2-4x x＜0

（8分）
（3）當(dāng)x≥0時，f（x）=x²-4x=-5無解；
當(dāng)x＜0時，解-x²-4x=-5得：x=-5，或x=1（舍去），
綜上所述，滿足方程f（x）=-5的解為：x=-5（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)奇偶生的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求法，熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．