Question

如圖，在棱長(zhǎng)是1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是DD₁，BD，BB₁的中點(diǎn).

（1）求證：EF⊥CF;
（2）求EF與CG所成的角的余弦值；
（3）求三棱錐G-CEF的體積.

Answer 1

(1)見(jiàn)解析  （2）EF與CG所成角的余弦值是 (3)
V_G-CEF =

因此此幾何休為正方體，易建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法解決。(1)只需證即可。
（2）用坐標(biāo)借助公式求EF與CG的所成角的余弦值。
(3)利用三棱錐可換底的特性可其體積。即V_G-CEF=V_C-EFG.
建立如圖所示的坐標(biāo)系，則 ……1分
(1) ,…………2分因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823221727079754.png" style="vertical-align:middle;" />……3分
所以：即：EF⊥CF……………4分

（2）因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823221727141677.png" style="vertical-align:middle;" />…………5分
所以：即：EF與CG所成角的余弦值是
(3)CF⊥平面EFG,且CF=,     S_△EFG=…………10分
V_G-CEF=V_C-EFG=