Question

下列命題正確的是（　�。�
①橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，則b=c（c為半焦距）．
②雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b．
③已知拋物線y²=2px上兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB（O為原點(diǎn)），則y₁y₂=-p²．

• A、②③
• B、①
• C、①②
• D、①③

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì),橢圓的簡單性質(zhì),拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：對(duì)于①，利用橢圓中三個(gè)參數(shù)的關(guān)系判斷；對(duì)于②根據(jù)雙曲線的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式判斷；對(duì)于③利用直線和拋物線的位置關(guān)系判斷．

解答： 解：對(duì)于①，

c

a

=

2

2

，則b=c，①正確；
對(duì)于②，雙曲線（a＞b＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±c，0），漸近線的方程為：y=±x，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到距離d═b．所以②正確；
對(duì)于③，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線y²=2px（p＞0）上的兩點(diǎn)，并且滿足OA⊥OB．
∴k_OA•k_OB=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=0，則

(y1y2)2

4p2

+y1y2=0，解得y₁y₂=-4p²，所以③錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓中三個(gè)參數(shù)的關(guān)系；考查雙曲線中漸近線的方程，考查拋物線的性質(zhì)，屬于一道綜合題．