Question

已知直線L：y=

1

2

x+m與曲線C：y=

1

2

|4-x2|

僅有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、(-2，

  2

  )
• B、(-

  2

  ，

  2

  )
• C、(1，

  2

  )
• D、(1，

  3

  )

Answer 1

分析：分析曲線C的方程y=

1

2

|4-x2|

可得是橢圓的上半部分與雙曲線的上半部分，由圖形可得找出兩個(gè)臨界值即直線平移到（0，1）與直線和橢圓相切（△=16m²-8（4m²-4）=0）的時(shí)候，得到答案．

解答：解：由題意得曲線C：y=

1

2

|4-x2|

∴2y=

|4-x2|

即4y²=|4-x²|（y≥0）
當(dāng)4-x²≥0時(shí)得到4y²=4-x²即

x2

4

+y2=1(y≥0)
當(dāng)4-x²＜0時(shí)得到

x2

4

-y2=1(y≥0)
由以上可得曲線C的圖形為

∵直線L：y=

1

2

x+m與雙曲線

x2

4

-y2=1的漸近線平行
∴把直線y=

1

2

x向上平移平移到（0，1）點(diǎn)時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)m=1．繼續(xù)向上平移則有3個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)直線與橢圓的上半部分相切時(shí)此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)．
聯(lián)立直線與橢圓的方程

y= 1 2 x+m x2 4 +y2=1

代入整理得2x²+4mx+4m²-4=0
△=16m²-8（4m²-4）=0即m=

2

或-

2

（舍去）
由圖示可得m=

2

由以上可得1＜m＜

2

故答案為C．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的根據(jù)是靈活運(yùn)用平面幾何的相關(guān)知識(shí)與結(jié)論，結(jié)合圖形解決問(wèn)題，即數(shù)形結(jié)合的是想是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)也是高考必考的知識(shí)點(diǎn)．