Question

17．如圖，AD為△ABC的邊BC上的高，E在AD上，且ED=2AE，過E作直線MN∥BC，分別交AB，AC于M，N點(diǎn)，將△AMN沿MN折起到A₁MN，使二面角A₁-MN-C為60°，求證：平面A₁MN⊥平面A₁BC．

Answer 1

分析 利用余弦定理求出A₁D，勾股定理證明A₁E⊥A₁D，再證明A₁E⊥平面A₁BC，即可證明平面A₁MN⊥平面A₁BC．

解答 證明：由題意，∠A₁ED=60°，
設(shè)ED=2A₁E=2a，
∴A₁D=$\sqrt{{a}^{2}+4{a}^{2}-2•a•2a•\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∴A₁E²+A₁D²=ED²，
∴A₁E⊥A₁D，
∵A₁E⊥BC，A₁D∩BC=D，
∴A₁E⊥平面A₁BC，
∵A₁E?平面A₁MN，
∴平面A₁MN⊥平面A₁BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面A₁MN⊥平面A₁BC，考查學(xué)生分析解決問題的能力，證明A₁E⊥平面A₁BC是關(guān)鍵．