【題目】棋盤的每個(gè)方格都隨意染黑白兩色之一,每次操作是將其中同行、同列、同對(duì)角線的連續(xù)五個(gè)方格改變成相反的顏色.試問:能否經(jīng)過有限次操作,使得所有方格的顏色都變成與原先相反的顏色?

【答案】見解析

【解析】

當(dāng)時(shí),目標(biāo)可以實(shí)現(xiàn);當(dāng)時(shí),目標(biāo)不可以實(shí)現(xiàn).

(1)如果,可由5是質(zhì)數(shù),不妨設(shè),則棋盤可劃分為若干個(gè)的矩形,對(duì)每一個(gè)的矩形操作一次即可.

(2)如果,可設(shè),、).

棋盤的方格用1、2、3、4、5編號(hào),使每一行每一列的數(shù)都構(gòu)成周期為5的周期數(shù)列,其左上角棋盤的編號(hào)如圖.

因?yàn)閳D中每行、每列的數(shù)都是以5為周期的周期數(shù)列,所以,同行、同列、同對(duì)角線的連續(xù)5個(gè)數(shù)都恰好包含1、2、3、4、5各1個(gè).故每次操作都使每一類編號(hào)的方格中恰有一個(gè)方格改變了一次顏色.

表示編號(hào)為的方格顏色改變的次數(shù)和(),則每次操作,各同時(shí)增加1,于是,操作中恒有.

若所有方格的顏色都變成與原先顏色相反,則每個(gè)方格顏色改變的次數(shù)為奇數(shù).

考察棋盤左上角子棋盤的編號(hào),對(duì)任何、、),在子棋盤中一定存在一個(gè)編號(hào)與一個(gè)編號(hào)),使得出現(xiàn)的次數(shù)比出現(xiàn)的次數(shù)多一次(逐一驗(yàn)證子棋盤即可).

去掉此子棋盤,則棋盤的剩余部分各編號(hào)出現(xiàn)的次數(shù)相等.于是,整個(gè)棋盤中編號(hào)、的個(gè)數(shù)一個(gè)為奇數(shù)、一個(gè)為偶數(shù).由于每個(gè)方格都改變奇數(shù)次顏色,從而,、一個(gè)為奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和、一個(gè)為偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和,也即、一為奇數(shù)、一為偶數(shù).于是,,矛盾.

故不可能所有方格的顏色都變成與原先相反的顏色.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè)為不同的兩點(diǎn),直線,下列命題正確的有( ).

①不論為何值,點(diǎn)都不在直線上;

②若,則過點(diǎn)的直線與直線平行;

③若,則直線經(jīng)過的中點(diǎn);

④若,則點(diǎn)在直線的同側(cè)且直線與線段的延長(zhǎng)線相交.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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【題目】已知函數(shù).

1)當(dāng)時(shí),求的極值;

2)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;

3)若對(duì)任意的,,恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知雙曲線的實(shí)軸端點(diǎn)分別為,記雙曲線的其中一個(gè)焦點(diǎn)為,一個(gè)虛軸端點(diǎn)為,若在線段上(不含端點(diǎn))有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn),使得,則雙曲線的離心率的取值范圍是( )

A. B. C. D.

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【題目】命題方程表示雙曲線命題不等式的解集是. 為假, 為真,的取值范圍.

【答案】

【解析】試題分析:由命題方程表示雙曲線,求出的取值范圍,由命題不等式的解集是,求出的取值范圍,由為假, 為真,得出一真一假,分兩種情況即可得出的取值范圍.

試題解析:

,

范圍為

型】解答
結(jié)束】
18

【題目】如圖,設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)軸上的投影, 上一點(diǎn),.

1)當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡的方程;

2)求過點(diǎn)且斜率為的直線被所截線段的長(zhǎng)度.

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【題目】為建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,政府欲將一塊長(zhǎng)12百米,寬5百米的矩形空地ABCD建成生態(tài)休閑園,園區(qū)內(nèi)有一景觀湖EFG(圖中陰影部分).以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖所示).景觀湖的邊界曲線符合函數(shù)模型.園區(qū)服務(wù)中心P在x軸正半軸上,PO=百米.

(1)若在點(diǎn)O和景觀湖邊界曲線上一點(diǎn)M之間修建一條休閑長(zhǎng)廊OM,求OM的最短長(zhǎng)度;

(2)若在線段DE上設(shè)置一園區(qū)出口Q,試確定Q的位置,使通道直線段PQ最短.

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【題目】是否存在常數(shù)a,b,c,使等式N+都成立,并證明你的結(jié)論.

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(1)求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離;

(2)當(dāng)的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí),求的值,并證明直線的斜率是非零常數(shù).

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同步練習(xí)冊(cè)答案