Question

17．已知△ABC的外接圓O（O為圓心）的半徑為1，且2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$
（1）求$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$夾角的余弦值；
（2）延長CO交AB于D點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{CO}$=λ$\overrightarrow{OD}$，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：$2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$=-$4\overrightarrow{OC}$，利用數(shù)量積運(yùn)算及其$|\overrightarrow{OA}|$=$|\overrightarrow{OB}|$=$|\overrightarrow{OC}|$=1，即可得出；
（2）由于A，B，D三點(diǎn)共線，可得存在實(shí)數(shù)m三點(diǎn)$\overrightarrow{OD}$=m$\overrightarrow{OA}$+（1-m）$\overrightarrow{OB}$，又$\overrightarrow{CO}$=λ$\overrightarrow{OD}$，且2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，利用向量基本定理即可得出．

解答 解：（1）∵2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$=-$4\overrightarrow{OC}$，
∴$16{\overrightarrow{OC}}^{2}$=$4{\overrightarrow{OA}}^{2}$+$9{\overrightarrow{OB}}^{2}$+12$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，又$|\overrightarrow{OA}|$=$|\overrightarrow{OB}|$=$|\overrightarrow{OC}|$=1，
∴16=4+9+12$cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}＞$，
∴$cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}＞$=$\frac{1}{4}$．
（2）∵A，B，D三點(diǎn)共線，
∴存在實(shí)數(shù)m三點(diǎn)$\overrightarrow{OD}$=m$\overrightarrow{OA}$+（1-m）$\overrightarrow{OB}$，
又$\overrightarrow{CO}$=λ$\overrightarrow{OD}$，且2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴（2+4λm）$\overrightarrow{OA}$+（3+4λ-4λm）$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$不共線，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+4λm=0}\\{3+4λ-4λm=0}\end{array}\right.$，
解得λ=$-\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量共線定理、向量基本定理、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．