Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+1．
（1）若函數(shù)在x=4時取得極值，求a的值．
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax，由函數(shù)在x=4時取得極值，即f′（4）=0，即可求得a的值；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，由題意可知$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$＜0在區(qū)間（3，+∞）恒成立，a＞$\frac{1}{2{x}^{2}}$在區(qū)間（3，+∞）恒成立，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=lnx-ax²+1，x∈（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax，
由函數(shù)在x=4時取得極值，即f′（4）=0，
∴$\frac{1}{4}$-2a×4=0，解得：a=$\frac{1}{32}$，
∴a的值$\frac{1}{32}$．
（2）由f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，x∈（0，+∞），
∴$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$＜0在區(qū)間（3，+∞）恒成立，
∴a＞$\frac{1}{2{x}^{2}}$在區(qū)間（3，+∞）恒成立，
∴a＞$\frac{1}{18}$，
∴a的取值范圍（$\frac{1}{18}$，+∞）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程的斜率，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，屬于中檔題．