Question

20．若函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，且x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=1-x²，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx（x＞0）}\\{-\frac{1}{x}（x＜0）}\end{array}$，則函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間[-5，5]內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 5
• B． 7
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 結(jié)合題意得到函數(shù)y=f（x）（x∈R）是周期為2的函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)f（x）=1-x²與函數(shù)g（x）的圖象得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：∵f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）為周期為2的周期函數(shù)，
∵x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=1-x²，所以作出它的圖象，
利用函數(shù)y=f（x）（x∈R）是周期為2函數(shù)，
可作出y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上的圖象，如圖所示：

故函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間[-5，5]內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為8．
故選：C．

點(diǎn)評 本題的考點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，主要考查函數(shù)零點(diǎn)的定義，關(guān)鍵是正確作出函數(shù)圖象，注意掌握周期函數(shù)的一些常見結(jié)論：若f（x+a）=f（x），則周期為a；若f（x+a）=-f（x），則周期為2a；若f（x+a）=$\frac{1}{f（x）}$，則周期為2a．