Question

【題目】已知數(shù)列滿足對任意的，都有，

且．

（1）求，的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對任意的正整數(shù) 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

【解析】

試題分析：

（1）當(dāng)n=1，n=2時(shí)，直接代入條件且，可求得；

（2）遞推一項(xiàng)，然后做差得，所以；由于，即當(dāng)時(shí)都有，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）由（2）知，則，利用裂項(xiàng)相消法得，根據(jù)單調(diào)遞增得 ，要使不等式對任意正整數(shù)n恒成立，只要，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

試題解析：

（1）解：當(dāng)時(shí)，有，

由于，所以 ．

當(dāng)時(shí)，有，

將代入上式，由于，所以．

（2）解：由于，①

則有．②

②－①，得，

由于，所以③

同樣有，④

③－④，得．

所以．

由于，即當(dāng)時(shí)都有，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．

故．

（3）解：由（2）知，則，所以

，∴數(shù)列單調(diào)遞增 ．

.

要使不等式對任意正整數(shù)n恒成立，只要 ．

.

，即 .

所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．