Question

20．設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x²+x+c=0的兩個實根，且0≤c≤$\frac{1}{8}$，則這兩條直線之間的距離的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 由題意和韋達(dá)定理可得a+b=-1，ab=c，可得兩平行線間的距離d滿足d²=$\frac{（a-b）^{2}}{2}$=$\frac{（a+b）^{2}-4ab}{2}$=$\frac{1-4c}{2}$，由0≤c≤$\frac{1}{8}$和不等式的性質(zhì)可得．

解答 解：∵a，b是方程x²+x+c=0的兩個實根，
∴由韋達(dá)定理可得a+b=-1，ab=c，
∴兩平行線間的距離d=$\frac{|a-b|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$，
故d²=$\frac{（a-b）^{2}}{2}$=$\frac{（a+b）^{2}-4ab}{2}$=$\frac{1-4c}{2}$，
∵0≤c≤$\frac{1}{8}$，∴0≤4c≤$\frac{1}{2}$，∴-$\frac{1}{2}$≤-4c≤0，
∴$\frac{1}{2}$≤1-4c≤1，∴$\frac{1}{4}$≤$\frac{1-4c}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{4}$≤d²≤$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$≤d≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故答案為：[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

點(diǎn)評 本題考查兩平行線間的距離公式，涉及韋達(dá)定理和不等式的性質(zhì)，屬中檔題．