12.一袋中裝有5個白球,3個紅球,現(xiàn)從袋中往外取球,每次任取一個,取出后記下顏色,若為紅色則停止,若為白色則繼續(xù)抽取,設停止時從袋中抽取的白球的個數(shù)為隨機變量X,則P(x≤$\sqrt{6}$)=$\frac{23}{28}$,E(x)=$\frac{5}{4}$,V(x)=$\frac{27}{16}$.

分析 X=k表示前k個球為白球,第k+1個恰為紅球,由題意X的可能取值為0,1,2,3,4,5,分別求出相應的概率,由此能求出ξ的分布列,從而能求出結果.

解答 解:X=k表示前k個球為白球,第k+1個恰為紅球,
P(X=0)=$\frac{{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{1}}$=$\frac{3}{8}$,
P(X=1)=$\frac{{A}_{5}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{2}}$=$\frac{15}{56}$,
P(X=2)=$\frac{{A}_{5}^{2}{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{3}}$=$\frac{10}{56}$,
P(X=3)=$\frac{{A}_{5}^{3}{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{4}}$=$\frac{6}{56}$,
P(X=4)=$\frac{{A}_{5}^{4}{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{5}}$=$\frac{3}{56}$,
P(X=5)=$\frac{{A}_{5}^{5}{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{6}}$=$\frac{1}{56}$,
∴ξ的分布列為:

 X 0 1 2 4 5
 P $\frac{3}{8}$ $\frac{15}{56}$ $\frac{10}{56}$ $\frac{6}{56}$ $\frac{3}{56}$ $\frac{1}{56}$
P(X$≤\sqrt{6}$)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=$\frac{3}{8}$+$\frac{15}{56}$+$\frac{10}{56}$=$\frac{23}{28}$.
E(X)=$0×\frac{3}{8}+1×\frac{15}{56}+2×\frac{10}{56}+3×\frac{6}{56}+4×\frac{3}{56}$+5×$\frac{1}{56}$=$\frac{5}{4}$.
V(X)=(0-$\frac{5}{4}$)2×$\frac{3}{8}$+(1-$\frac{5}{4}$)2×$\frac{15}{56}$+(2-$\frac{5}{4}$)2×$\frac{10}{56}$+$(3-\frac{5}{4})^{2}×\frac{6}{56}$+(4-$\frac{5}{4}$)2×$\frac{3}{56}$+(5-$\frac{5}{4}$)2×$\frac{1}{56}$=$\frac{27}{16}$.
故答案為:$\frac{23}{28}$,$\frac{5}{4}$,$\frac{27}{16}$.

點評 本題考查概率的求法,考查離散型隨機變量的數(shù)學期望、方差的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意排列組合知識的合理運用.

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