Question

5．已知f（x）為偶函數，g（x）為奇函數，且滿足f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$，則f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$．

Answer 1

分析 把已知式子中的x換成-x列出方程，根據函數奇偶性的性質：f（-x）=f（x）、g（-x）=-g（x）化簡，通過解方程組即可解得f（x）．

解答 解：由題意知，f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$，①
把x換成-x得，f（-x）+g（-x）=$\frac{1}{-x-1}$，
∵f（x）為偶函數，g（x）為奇函數，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
代入上式得，f（x）-g（x）=-$\frac{1}{x+1}$，②
由①②得，f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$，
故答案為：$\frac{1}{{x}^{2}-1}$．

點評 本題考查了利用函數奇偶性的性質、方程組法求函數解析式，考查了方程思想，化簡、計算能力．