Question

15．已知實數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}y≥0\\ y≤x\\ 2x+y-9≤0\end{array}\right.$時，所表示的平面區(qū)域為D，則z=x+2y的最大值等于9；若直線y=a（x+1）與區(qū)域D有公共點，則a的取值范圍是[0，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，設(shè)z=x+2y，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．第二問利用直線斜率的幾何意義進行求解．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域圖示：
解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：，
設(shè)z=x+2y，則y=-$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}z$，平移直線y=-$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}z$，當直線y=-$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}z$經(jīng)過點A時，直線的截距最大，此時z也最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+y-9=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（3，3），
此時z_max=2×3+3=9，
因為y=a（x+1）過定點C（-1，0）．
當a≥0時，當直線y=a（x+1）過點A時，由公共點，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+y-9=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（3，3），
代入y=a（x+1）得4a=3，a=$\frac{3}{4}$，
又因為直線y=a（x+1）與平面區(qū)域D有公共點．
此時0≤a≤$\frac{3}{4}$．
故答案為：9，[0，$\frac{3}{4}$]

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，結(jié)合直線斜率的幾何意義以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．