【題目】若正項數列滿足:,則稱此數列為“比差等數列”.
(1)試寫出一個“比差等數列”的前項;
(2)設數列是一個“比差等數列”,問是否存在最小值,如存在,求出最小值;如不存在,請說明理由;
(3)已知數列是一個“比差等數列”,為其前項的和,試證明:.
【答案】(1)、、(答案不唯一);(2)存在,且的最小值為;(3)證明見解析.
【解析】
(1)根據“比差等數列”的定義得出,由,可得出,然后對取一個大于的值,可得出一個符合條件的“比差等數列”的前項;
(2)由題意得出,且,利用基本不等式可求出的最小值;
(3)由可推出,利用數學歸納法證明,由此得出,、、、,然后利用同向不等式的可加性可證明出成立.
(1)由于數列為“比差等數列”,則,可得.
由于數列每項都是正數,則,可得出.
若,則,.
因此,“比差等數列”的前項可以是、、(答案不唯一);
(2)由(1)可知,,則,
,
當且僅當時,等號成立,因此,有最小值;
(3)由題意可得.
由于雙勾函數在上是增函數,
,,且,則,
同理可得.
猜想,當時,.
假設當時,猜想成立,即;
那么當時,由于函數在上是增函數,
且,
所以,.
由歸納原理可知,當時,.
于是有,、、、,
將上述不等式全部相加得.
因此,.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】為了解某校學生參加社區(qū)服務的情況,采用按性別分層抽樣的方法進行調查.已知該校共有學生960人,其中男生560人,從全校學生中抽取了容量為n的樣本,得到一周參加社區(qū)服務的時間的統(tǒng)計數據如下表:
超過1小時 | 不超過1小時 | |
男 | 20 | 8 |
女 | 12 | m |
(1)求m,n;
(2)能否有95多的把握認為該校學生一周參加社區(qū)服務時間是否超過1小時與性別有關?
(3)以樣本中學生參加社區(qū)服務時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率,現從該校學生中隨機調查6名學生,試估計6名學生中一周參加社區(qū)服務時間超過1小時的人數.
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】為考查某種疫苗預防疾病的效果,進行動物實驗,得到統(tǒng)計數據如下:
未發(fā)病 | 發(fā)病 | 總計 | |
未注射疫苗 | 20 | ||
注射疫苗 | 30 | ||
總計 | 50 | 50 | 100 |
現從所有試驗動物中任取一只,取到“注射疫苗”動物的概率為.
(1)求列聯表中的數據,,,的值;
(2)判斷疫苗是否有效?
(3)能夠有多大把握認為疫苗有效?
(參考公式,)
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】(題文)(2017·長春市二模)如圖,在四棱錐中,底面是菱形,,平面,,點,分別為和中點.
(1)求證:直線平面;
(2)求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為:弧田面積=(弦矢+矢2).弧田(如圖),由圓弧和其所對弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.
按照上述經驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.現有圓心角為,弦長等于9米的弧田.
(1)計算弧田的實際面積;
(2)按照《九章算術》中弧田面積的經驗公式計算所得結果與(1)中計算的弧田實際面積相差多少平方米?(結果保留兩位小數)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點為且過點橢圓C與軸的交點為A、B(點A位于點B的上方),直線與橢圓C交于不同的兩點M、N(點M位于點N的上方).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求△OMN面積的最大值;
(3)求證:直線AN和直線BM交點的縱坐標為常值.
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