Question

設(shè)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C的短軸長(zhǎng)為2，且一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（t，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)t＞

2

時(shí)，求△OAB面積S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓C的短軸長(zhǎng)為2，且一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），求出b，c，a，盡快求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)l：x=my+t直線代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示面積，結(jié)合基本不等式，即可求△OAB面積S的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，b=1，c=1，∴a=

2

，
∴橢圓C的方程

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)l：x=my+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線代入橢圓方程可得（m²+2）y²+2mty+t²-2=0，
∴y₁+y₂=-

2mt

m2+2

，y₁y₂=

t2-2

m2+2

，
∴S_△OAB=

t

2

|y₁-y₂|=

2 t• m2+2-t2

m2+2

≤

2

m2+2

•

t2+m2+2-t2

2

=

2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)m²+2-t²=t²時(shí)，S取得最大值

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求△OAB面積S的最大值，考查橢圓方程，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．