Question

已知函數(shù)f（x）=（x-2m）（nx+2）（m＞0，n＞0）為偶函數(shù)．
（1）若k≤f（2）+6m恒成立，求k的取值范圍；
（2）當m=1時，若函數(shù)g（x）=（a-2）lnx+f（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得：f（x）=nx²+（2-2mn）x-4m，又f（x）為偶函數(shù)，得f（2）=4n-4m，從而k≤[f（2）+6m]_min=4

2

，
（2）求出函數(shù)f（x）的表達式，求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，再通過討論a的范圍，從而解決問題．

解答： 解：（1）由已知得：f（x）=nx²+（2-2mn）x-4m，
又f（x）為偶函數(shù)，∴2-2mn=0，即mn=1，
∴f（2）=4n-4m，
∴f（2）+6m=4n+2m≥2

4n•2m

=4

2

，
又k≤f（2）+6m恒成立，
∴k≤[f（2）+6m]_min=4

2

，
∴k的范圍是（-∞，4

2

]；
（2）由（1）得：m=1時，n=1，
∴f（x）=x²-4，
∴g（x）=（a-2）lnx+x²-4，
∴g′（x）=

2x2+(a-2)

x

，
①a≥2時，g′（x）＞0，則g（x）在（2，3）單調(diào)遞增，
②a＜2時，g′（x）=

2(x+ 2-a 2 )(x- 2-a 2 )

x

，
又函數(shù)g（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，
∴2＜

2-a 2

＜3，
∴-16＜a＜-6，
∴a的范圍是（-16，-6）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍，導數(shù)的應用，是一道綜合題．