Question

12．已知函數(shù)$f（x）+2=\frac{2}{{f（\sqrt{x+1}）}}$，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=x²，若在區(qū)間（-1，1]內(nèi)，g（x）=f（x）-t（x+1）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． $[\frac{1}{2}，+∞）$
• B． $[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$
• C． $[-\frac{1}{2}，0）$
• D． $（0，\frac{1}{2}]$

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），分別求出函數(shù)f（x）的解析式以及兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由題可知函數(shù)在x∈（-1，1]上的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{-2x}{x+1}x∈（-1，0]\\{x^2}x∈（0，1]\end{array}\right.$，
由g（x）=f（x）-t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），
可將函數(shù)f（x）在x∈（-1，1）上的大致圖象呈現(xiàn)如圖：
根據(jù)y=t（x+1）的幾何意義，x軸位置和圖中直線位置為y=t（x+1）表示直線的臨界位置，
因此直線的斜率t的取值范圍是$（0，\frac{1}{2}]$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題是最近熱點(diǎn)的函數(shù)圖象辨析問題，是一道較為復(fù)雜的難題．作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．