9.已知△ABC中,$∠ACB=\frac{2}{3}π$,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.
(1)若a,b,c是依次成為等差數(shù)列,且公差為2,求c的值.
(2)在AB邊上有一點P,使∠PCB=$\frac{π}{3}$,若AB=7,sinB=2sinA,求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值.

分析 (1)由a,b,c是依次成為等差數(shù)列,且公差為2,可得b=c-2,a=c-4.再利用余弦定理即可得出.
(2)利用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì),數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出.

解答 解:(1)∵a,b,c是依次成為等差數(shù)列,且公差為2,∴b=c-2,a=c-4.
由余弦定理可得:c2=a2+b2-2abcosC,∴c2=(c-4)2+(c-2)2-2(c-4)(c-2)cos$\frac{2π}{3}$,解得c=7(2舍去).
(2)∵sinB=2sinA,∴b=2a.
∵∠PCB=$\frac{π}{3}$,$∠ACB=\frac{2}{3}π$,∴CP平分∠ACB.
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{CB}$=2,又AP+PB=7,解得AP=$\frac{14}{3}$,PB=$\frac{7}{3}$.
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=-$|\overrightarrow{PA}|$$|\overrightarrow{PB}|$=-$\frac{14}{3}×\frac{7}{3}$=-$\frac{98}{9}$.

點評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、余弦定理、三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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