Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左頂點為A（-2，0），過右焦點F且垂直于長軸的弦長為3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線y=kx+m（k＜0，m＞0）與y軸交于點P，與x軸交于點Q，與橢圓C交于M，N兩點，若$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{3}{|PQ|}$，求直線y=kx+m過定點，并求出這個定點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意a=2，利用過右焦點F且垂直于長軸的弦長為3，求出b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=kx+m（k＜0，m＞0）與y軸交于點P（0，m），與x軸交于點Q（-$\frac{m}{k}$，0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{3}{|PQ|}$，可得$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{3k}{m}$，y=kx+m代入橢圓方程可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，利用韋達定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意a=2，設(shè)過右焦點F且垂直于長軸的弦為MN，
將M（c，y_M）代入橢圓方程可得y_M=±$\frac{^{2}}{a}$，
∴$\frac{2^{2}}{a}$=3，∴b²=3，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）證明：直線y=kx+m（k＜0，m＞0）與y軸交于點P（0，m），
與x軸交于點Q（-$\frac{m}{k}$，0），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
|PM|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$x₁，|PN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$x₂，|PQ|=-$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{m}{k}$，
∵$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{3}{|PQ|}$，∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{3k}{m}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{3k}{m}$，
y=kx+m代入橢圓方程可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{-8km}{4{m}^{2}-12}$=-$\frac{3k}{m}$，
∵m＞0，∴m=3，
∴直線y=kx+m恒過定點，且為點（0，3）．

點評 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學(xué)生析解決問題的能力，屬于中檔題..