Question

13．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=$\frac{3}{4}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，n=1，2，3…
（1）證明：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是等比數(shù)列；
（2）是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，t成等差數(shù)列，且a_m-1，a_s-1，a_t-1成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的m，s，t，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把已知數(shù)列遞推式兩邊取倒數(shù)，然后利用構(gòu)造法證明數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是等比數(shù)列；
（2）由（1）求出數(shù)列{a_n}的通項公式，設(shè)存在互不相等的正整數(shù)m，s，t滿足條件，代入a_m-1，a_s-1，a_t-1成等比數(shù)列，得到矛盾結(jié)論，說明不存在互不相等的正整數(shù)m，s，t滿足題給的條件．

解答 （1）證明：∵a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-1=\frac{1}{3}（\frac{1}{{a}_{n}}-1）$，又a₁=$\frac{3}{4}$，∴$\frac{1}{{a}_{1}}-1=\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以$\frac{1}{3}$為首項，$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知$\frac{1}{{a}_{n}}-1=\frac{1}{3}•\frac{1}{{3}^{n-1}}=\frac{1}{{3}^{n}}$，即$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{3}^{n}}+1=\frac{{3}^{n}+1}{{3}^{n}}$，∴${a}_{n}=\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+1}$．
假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)m，s，t滿足條件，
則有（3^s+1）²=（3^m+1）（3^t+1），
即3^2s+2×3^s+1=3^m+t+3^m+3^t+1，
∵2s=m+t，∴得3^m+3^t=2×3^s．
但是${3}^{m}+{3}^{t}≥2\sqrt{{3}^{m}×{3}^{t}}=2×{3}^{s}$，當且僅當m=t時等號成立，
這與m，s，t互不相等矛盾，
∴不存在互不相等的正整數(shù)m，s，t滿足題給的條件．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓練了等比數(shù)列性質(zhì)的用法，考查不等式基本性質(zhì)的應用，是中檔題．