Question

15．已知$f（x）=（2log_4^x-2）（log_4^x-\frac{1}{2}）$
（1）當(dāng)x∈[2，4]時，求該函數(shù)的值域；
（2）若$f（x）≥mlog_4^x$關(guān)于x∈[4，16]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）$f（x）=（2log_4^x-2）（log_4^x-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{2}$（log2x）2-$\frac{3}{2}$log2x+1，2≤x≤4，令t=log₂x，則y=$\frac{1}{2}$t2-$\frac{3}{2}$t+1=$\frac{1}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）2-$\frac{1}{8}$，由此能求出函數(shù)的值域．
（2）令t=log₂x，得 $\frac{1}{2}$t2-$\frac{3}{2}$t+1$≥\frac{1}{2}$mt對于2≤t≤4恒成立，從而得到m≤t-3+$\frac{2}{t}$對于t∈[2，4]恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（t）=t+$\frac{2}{t}$-3，t∈[2，4]，能求出m的取值范圍．

解答 解：（1）$f（x）=（2log_4^x-2）（log_4^x-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{2}$（log2x）2-$\frac{3}{2}$log2x+1，2≤x≤4，
令t=log₂x，則y=$\frac{1}{2}$t2-$\frac{3}{2}$t+1=$\frac{1}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）2-$\frac{1}{8}$，
∵2≤x≤4，
∴1≤t≤2．
當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時，y_min=-$\frac{1}{8}$，當(dāng)t=1，或t=2時，y_max=0．
∴函數(shù)的值域是[-$\frac{1}{8}$，0]．
（2）令t=log₂x，得$\frac{1}{2}$t2-$\frac{3}{2}$t+1≥$\frac{1}{2}$mt對于2≤t≤4恒成立．
∴m≤t-3+$\frac{2}{t}$對于t∈[2，4]恒成立，
設(shè)g（t）=t-3+$\frac{2}{t}$，t∈[2，4]，
∴g（t）=t-3+$\frac{2}{t}$=（t+$\frac{2}{t}$）-3，
∵g（2）=0，g（4）=$\frac{3}{2}$，
∴g（t）_min=0，∴m≤0．
故m的取值范圍是（-∞，0]．

點評 本題考查函數(shù)的值域的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．