Question

17．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F₂（1，0），且經過點（1，-$\frac{3}{2}$）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線y=kx（k＞0）與橢圓相交于A，B兩點，M，N分別為線段AF₂，BF₂的中點，問是否存在以MN為直徑的圓經過原點？若存在求出k的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知橢圓左焦點坐標，再由橢圓定義求出2a，得到a，結合隱含條件求出b，則橢圓方程可求；
（2）由橢圓的方程與直線的方程y=kx聯(lián)立，得（3+4k²）x²-12=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），依題意，AF₂⊥BF₂，由$\overrightarrow{{F}_{2}A}•\overrightarrow{{F}_{2}B}$=0得到k無解，說明不存在以MN為直徑的圓經過原點．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F₂（1，0），∴左焦點F₁（-1，0），
又橢圓經過點（1，-$\frac{3}{2}$），
∴$2a=\sqrt{（-1-1）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}+\sqrt{（1-1）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}=4$，則a=2，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-12=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=0，x₁x₂=-$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
依題意，OM⊥ON，
易知，四邊形OMF₂N為平行四邊形，
∴AF₂⊥BF₂，
∵$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（x₂-1，y₂），
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}•\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+1=0，
即$\frac{-12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}+1=0$，
∴$\frac{-12-12{k}^{2}+3+4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}=0$，此方程無解．
故不存在以MN為直徑的圓經過原點．

點評 本題主要考查橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，是中檔題．