Question

9．設(shè)[t]表示不超過實(shí)數(shù)t的最大整數(shù)，則在坐標(biāo)平面xoy上，滿足$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1的點(diǎn)P（x，y）所形成的圖形的面積為4．

Answer 1

分析 根據(jù)方程求出x，y的整數(shù)解，則可以確定x的范圍，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)的y的范圍，求出面積即可．

解答 解：由題意得-2≤[x]≤2，-3≤[y]≤3，
則當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，[x]=-2，此時(shí)由足$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1得[y]²=0，即0≤y＜1，
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，[x]=-1，此時(shí)由足$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1得[y]²=$\frac{9}{4}$不是整數(shù)，不滿足條件，
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，[x]=0，此時(shí)由足$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1得[y]²=9，即[y]=-3或3，即-3≤y＜-2或3≤y＜4，
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，[x]=1，此時(shí)由足$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1得[y]²=$\frac{27}{4}$，不是整數(shù)，不滿足條件．
當(dāng)2≤x＜3時(shí)，[x]=2，此時(shí)由足$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1得[y]²=0，即[y]=0，即-1≤y＜0，
即滿足$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1的點(diǎn)P（x，y）構(gòu)成的條件為$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x＜-1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0≤x＜1}\\{-3≤y＜-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{0≤x＜1}\\{3≤y＜4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2≤x＜3}\\{-1≤y＜0}\end{array}\right.$
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則對(duì)應(yīng)的面積S=1+1+1+1=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查探究性問題，是創(chuàng)新題，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，而分類討論思想是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想．