Question

3．如果定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)于任意x₁≠x₂，都有x_lf（x_l）+x₂f（x₂）≥x_lf（x₂）+x₂f（x_l），則稱(chēng)f（x）為“H函數(shù)”，給出下列函數(shù)：
①y=-x³+x+l；
②y=3x-2（sinx-cosx）；
③y=l-e^x；
④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx（x≥1）}\\{0（x＜1）}\end{array}\right.$；
⑤y=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$
其中“H函數(shù)”的個(gè)數(shù)有（　　）

• A． 3個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． l個(gè)
• D． 0個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁）變形可得[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）≥0，進(jìn)而分析可得若函數(shù)f（x）為“H函數(shù)”，則函數(shù)f（x）為增函數(shù)或常數(shù)函數(shù)；據(jù)此依次分析所給函數(shù)的單調(diào)性，綜合可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對(duì)于x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁），
則有f（x₁）（x₁-x₂）-f（x₂）（x₁-x₂）≥0，
即[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）≥0，
分析可得：若函數(shù)f（x）為“H函數(shù)”，則函數(shù)f（x）為增函數(shù)或常數(shù)函數(shù)；
對(duì)于①、y=-x³+x+l，有y′=-3x²+l，不是增函數(shù)也不是常數(shù)函數(shù)，則其不是“H函數(shù)”，
對(duì)于②、y=3x-2（sinx-cosx）；有y′=3-2（sinx+cosx）=3-2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），有y′≥0，
y=3x-2（sinx-cosx）為增函數(shù)，則其是“H函數(shù)”，
對(duì)于③、y=l-e^x=-e^x+1，是減函數(shù)，則其不是“H函數(shù)”，
對(duì)于④、f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx（x≥1）}\\{0（x＜1）}\end{array}\right.$，當(dāng)x＜1時(shí)是常數(shù)函數(shù)，當(dāng)x≥1時(shí)是增函數(shù)，則其是“H函數(shù)”，
對(duì)于⑤、y=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，當(dāng)x≠0時(shí)，y=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$，當(dāng)x＞1和x＜-1時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，故其不是增函數(shù)也不是常數(shù)函數(shù)，則其不是“H函數(shù)”，
綜合可得：有2個(gè)是“H函數(shù)”，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的判定與應(yīng)用，關(guān)鍵是依據(jù)x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁），判斷出函數(shù)的單調(diào)性．