Question

11．平面上動點P到點F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1．
（Ⅰ） 求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F作直線與曲線C交于兩點A，B，與直線l交于點M，求|MA|•|MB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用平面上動點P到點F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1，建立方程，即可求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）$\overrightarrow{MA}$與$\overrightarrow{MB}$方向相同，故$|MA|•|MB|=|\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}|$，直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理及基本不等式，即可求|MA|•|MB|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動點P的坐標為（x，y），由題意知：$\sqrt{{x^2}+{{（y-1）}^2}}=|y-（-2）|-1=|y+2|-1$，且y≥0，
∴$\sqrt{{x^2}+{{（y-1）}^2}}=y+1⇒{x^2}+{（y-1）^2}={（y+1）^2}$，化簡得：x²=4y，
即為動點P軌跡C的方程；   …（4分）
（Ⅱ）設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，-2），
由題意直線AB的斜率k
存在且k≠0，設(shè)其方程為y=kx+1，則${x_0}=-\frac{3}{k}$，得$M（-\frac{3}{k}，-2）$
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，消去y得x²-4kx-4=0，
于是△=16（k²+1）＞0恒成立，且x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
又${y_1}{y_2}=（k{x_1}+1）（k{x_2}+1）={k^2}{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1=1$，${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2=4{k^2}+2$…（7分）
∵$\overrightarrow{MA}$與$\overrightarrow{MB}$方向相同，故$|MA|•|MB|=|\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}|$，$\overrightarrow{MA}=（{x_1}+\frac{3}{k}，{y_1}+2），\overrightarrow{MB}=（{x_2}+\frac{3}{k}，{y_2}+2）$，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（{x_1}+\frac{3}{k}）（{x_2}+\frac{3}{k}）+（{y_1}+2）（{y_2}+2）={x_1}{x_2}+\frac{3}{k}（{x_1}+{x_2}）+\frac{9}{k^2}+{y_1}{y_2}+2（{y_1}+{y_2}）+4$
=$8{k^2}+\frac{9}{k^2}+17≥2\sqrt{8{k^2}×\frac{9}{k^2}}+17=17+12\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)${k^4}=\frac{9}{8}⇒{k^2}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$時取等號，
故|MA|•|MB|的最小值為$17+12\sqrt{2}$．…（12分）

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識、韋達定理的運用，屬于中檔題．