Question

15．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax+b（a，b∈R）在x=ln2處的切線方程為y=x-2ln2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若k為整數(shù)，當(dāng)x＞0時，（k-x）f'（x）＜x+1恒成立，求k的最大值（其中f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f'（ln2）=1求導(dǎo)a值，再由f（ln2）=-ln2求得b值，代入原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再由導(dǎo)函數(shù)的符號與原函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）把當(dāng)x＞0時，（k-x）f'（x）＜x+1恒成立，轉(zhuǎn)化為$k＜\frac{{x{e^x}+1}}{{{e^x}-1}}$在x＞0時恒成立．令$g（x）=\frac{{x{e^x}+1}}{{{e^x}-1}}（{x＞0}）$，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值得答案．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x+a，由已知得f'（ln2）=1，故e^ln2+a=1，解得a=-1．
又f（ln2）=-ln2，得e^ln2-ln2+b=-ln2，解得b=-2，
∴f（x）=e^x-x-2，則f'（x）=e^x-1，
當(dāng)x＜0時，f'（x）＜0；當(dāng)x＞0時，f'（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)區(qū)間遞增區(qū)間為（0，+∞），遞減區(qū)間為（-∞，0）；
（Ⅱ）由已知（k-x）f'（x）＜x+1，及f'（x）=e^x-1，
整理得$k＜\frac{{x{e^x}+1}}{{{e^x}-1}}$在x＞0時恒成立．
令$g（x）=\frac{{x{e^x}+1}}{{{e^x}-1}}（{x＞0}）$，$g'（x）=\frac{{{e^x}（{{e^x}-x-2}）}}{{{{（{{e^x}-1}）}^2}}}$，
當(dāng)x＞0時，e^x＞0，e^x-1＞0；
由（Ⅰ）知f（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又f（1）=e-3＜0，f（2）=e²-4＞0，
∴存在x₀∈（1，2）使得$f（{x_0}）={e^{x_0}}-{x_0}-2=0$，此時${e^{x_0}}={x_0}+2$
當(dāng)x∈（0，x₀）時，g'（x）＜0；當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，g'（x）＞0
∴$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）=\frac{{{x_0}{e^{x_0}}+1}}{{{{（{{e^{x_0}}-1}）}^2}}}={x_0}+1∈（{2，3}）$．
故整數(shù)k的最大值為2．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查分離變量法在求解恒成立問題中的應(yīng)用，是中檔題．