Question

2．設(shè)a，b∈R，函數(shù)f（x）=ax²+lnx+b的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為4x+4y+1=0．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）證明：f（x）＜x³-2x²．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)，可得f（x）的解析式，求出單調(diào)區(qū)間、極值和最值；
（2）設(shè)出h（x）=f（x）-（x³-2x²），求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得極大值，也為最大值，進(jìn)而得到證明．

解答 解：（1）∵$f'（x）=2ax+\frac{1}{x}$，
由在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為4x+4y+1=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=2a+1=-1\\ f（1）=a+b=-\frac{5}{4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-\frac{1}{4}\end{array}\right.$，
∴$f（x）=-{x^2}+lnx-\frac{1}{4}$．
$f'（x）=\frac{{1-2{x^2}}}{x}$，令f'（x）=0，得$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
令f′（x）＞0，得$0＜x＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0，得$x＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減．
∴$f{（x）_{max}}=f（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）=-\frac{3+2ln2}{4}$．                                          
（2）證明：設(shè)$h（x）=f（x）-{x^3}+2{x^2}=-{x^3}+{x^2}+lnx-\frac{1}{4}$，$h'（x）=-3{x^2}+2x+\frac{1}{x}=-\frac{{3{x^2}-2{x^2}-1}}{x}=-\frac{{3{x^2}-3{x^2}+{x^2}-1}}{x}=-\frac{{（{3{x^2}+x+1}）（{x-1}）}}{x}$，
令h′（x）=0，得x=1，
令h′（x）＞0，得0＜x＜1，此時(shí)h（x）單調(diào)遞增；
令h′（x）＜0，得x＞1，此時(shí)h（x）單調(diào)遞減．
∴$h{（x）_{極大}}=h{（x）_{max}}=h（1）=-\frac{1}{4}＜0$，
∴h（x）＜0．
從而f（x）＜x³-2x²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造法，求出最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．