Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}cos（{x+\frac{π}{4}}）$，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（2）求函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}cos（{x+\frac{π}{4}}）$的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的周期性、值域，得出結(jié)論．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}cos（{x+\frac{π}{4}}）$，x∈R，可得周期T=2π，且 $y∈[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]$．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得2kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得2kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{4}$，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．