Question

18．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+{sin^2}$x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間和f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的值域
（2）在△ABC中，內角A、B、C所對邊的長分別是a、b、c，若f（A）=2，C=$\frac{π}{4}$，c=2，求△ABC的面積S_△ABC的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡函數(shù)解析式為f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的單調遞增區(qū)間．由$0≤x≤\frac{π}{2}，-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，即可求得f（x）的值域．
（2）由$2sin（2A-\frac{π}{6}）=2$，結合范圍0＜A＜π，可求A的值，依據正弦定理，可求a，B的值，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分9分）
 解：（1）∵f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+{sin^2}$x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x，
∴$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）$．
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得k$π-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是[k$π-\frac{π}{6}$，k$π+\frac{π}{3}$]，k∈Z
∴$0≤x≤\frac{π}{2}，-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴函數(shù)f（x）的值域為[-1，2]；
（2）∵在△ABC中，$f（A）=2，C=\frac{π}{4}，c=2$，
∴$2sin（2A-\frac{π}{6}）=2$，解得$A=kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$．
又0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}$．
依據正弦定理，有$\frac{a}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{c}{{sin\frac{π}{4}}}，解得a=\sqrt{6}$．
∴$B=π-A-C=\frac{5}{12}π$．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}•2•\sqrt{6}•\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，正弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質，三角形面積公式等知識的應用，解題時要注意分析角的范圍，屬于基礎題．