Question

9．已知3sin²α+2sin²β=2sinα，求cos²α+cos²β的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)已知等式，得到sin²β=-$\frac{3}{2}$sin²α+sinα≥0，可以解出sinα的取值范圍是[0，1]，并且cos²β=1-sin²β=$\frac{3}{2}$sin²α-sinα+1，結(jié)合cos²α=1-sin²α，代入cos²α+cos²β得關(guān)于sinα的二次函數(shù)，由此不難求出cos²α+cos²β的取值范圍．

解答 解：∵3sin²α+2sin²β-2sinα=0，
∴sin²β=-$\frac{3}{2}$sin²α+sinα≥0，
可得0≤sinα≤$\frac{2}{3}$，
cos²β=1-sin²β=$\frac{3}{2}$sin²α-sinα+1
∴cos²α+cos²β=（1-sin²α）+（$\frac{3}{2}$sin²α-sinα+1）
=$\frac{1}{2}$sin²α-sinα+2，
∵0≤sinα≤$\frac{2}{3}$，
∴當(dāng)sinα=0時(shí)，cos²α+cos²β有最大值為2，
當(dāng)sinα=$\frac{2}{3}$時(shí)，cos²α+cos²β有最小值$\frac{14}{9}$．
∴$\frac{14}{9}$≤cos²α+cos²β≤2．

點(diǎn)評 本題給出兩個角α、β的正余弦的一個等式，在此基礎(chǔ)上求α、β余弦的平方和的取值范圍．主要考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域等知識點(diǎn)，屬于中檔題．