Question

9．已知公差為d的等差數(shù)列{a_n}滿足d≠0且a₂是a₁、a₄的等比中項(xiàng)，記b_n=${a}_{{2}^{n}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）若b₂+4是b₁+1，b₃+3的等差中項(xiàng)，求公差為d的值；
（Ⅱ）當(dāng)d＞0，對(duì)任意的正整數(shù)n均有$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$＜2＜$\frac{{a}_{1}+{a}_{3}+…+{a}_{2n-1}}{2n-1}$，求公差d的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a₂是a₁、a₄的等比中項(xiàng)，可得a₁=d，a_n=nd，b_n=2ⁿd，根據(jù)b₂+4是b₁+1，b₃+3的等差中項(xiàng)，求公差為d的值；
（Ⅱ）利用$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$＜2＜$\frac{{a}_{1}+{a}_{3}+…+{a}_{2n-1}}{2n-1}$，結(jié)合求和公式，即可求公差d的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵a₂是a₁、a₄的等比中項(xiàng)，
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
∴a₁=d，
∴a_n=nd，∴b_n=2ⁿd，
∵b₂+4是b₁+1，b₃+3的等差中項(xiàng)，
∴2（b₂+4）=（b₁+1）+（b₃+3），
∴2（4d+4）=2d+1+8d+3，
∴d=2；
（Ⅱ）$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}jvhpnbd$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜2，
∴d＞$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∴d≥$\frac{1}{2}$；
$\frac{{a}_{1}+{a}_{3}+…+{a}_{2n-1}}{2n-1}$=$\frac{1+3+…+2n-1}{2n-1}$d=$\frac{{n}^{2}}{2n-1}$d＞2，
∴d＞2（$\frac{2}{n}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$），
∴d＞2，
綜上，d＞2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．