Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-{cos}^{2}x+\frac{1}{2}$．
（1）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的取值范圍；
（2）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$ 個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可求f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），由$x∈[0，\frac{π}{2}]$，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求f（x）的取值范圍．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-{cos}^{2}x+\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]．
∴函數(shù)f（x）的取值范圍為：[-$\frac{1}{2}$，1]…6分
（2）∵g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[k$π-\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題．