Question

12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，向量$\overrightarrow{p}$=（sinA+sinC，sinB），向量$\overrightarrow{q}$=（a-c，b-a），且滿足$\overrightarrow{p}$⊥$\overrightarrow{q}$．
（1）求△ABC的內(nèi)角C的值；
（2）若c=2，2sin2A+sin（2B+C）=sinC，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二向量垂直可推斷出$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=0，進而求得a，b和c的關系式，代入余弦定理求得cosC的值，進而求得c．
（2）化簡可得2a=b，解得a，b的值，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{p}$⊥$\overrightarrow{q}$．得$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=0，
得（sinA+sinC）（a-c）+sinB（b-a）=0，
根據(jù)正弦定理得到：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴（a+c）（a-c）+b（b-a）=0，
即a²-c²+b²=ab，
根據(jù)余弦定理，cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$
∵0＜C＜π
∴C=$\frac{π}{3}$，
（2）∵2sin2A+sin（2B+C）=sinC，
∴2sin2A+sin[π-（A-B）]=sin（A+B），
∴2sinA=sinB，
∴2a=b，
又∵a²-c²+b²=ab，c=2，
解得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
此時S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查了余弦定理正弦定理的應用，兩角和公式的化簡求值，平面向量的性質(zhì)．考查了學生綜合分析運用所學知識的能力．