Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]，
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得

a

•

b

，再根據(jù)

a

+

b

的坐標(biāo)，求得|

a

+

b

|的值．
（2）由（Ⅰ）得 f（x）=2（cosx-λ）²-1-2λ²，再結(jié)合1≥cosx≥0可得，分類討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)f（x）的最小值是-

3

2

，分別求得實(shí)數(shù)λ的值，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意可得

a

•

b

=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

xsin

x

2

=cos2x，

a

+

b

=（cos

3

2

x+cos

x

2

，sin

3

2

x-sin

x

2

），
∴|

a

+

b

|=

(sin 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2+2cos2x

=2|cosx|．
∵x∈[0，

π

2

]，∴1≥cosx≥0，∴|

a

+

b

|=2cosx．
（2）由（Ⅰ）得 f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|=cos2x-4λcosx=2（cosx-λ）²-1-2λ²，
再結(jié)合1≥cosx≥0可得，
當(dāng)λ＜0時(shí)，則cosx=0時(shí)，f（x）取得最小值為-1，這與已知矛盾．
當(dāng)0≤λ≤1時(shí)，則cosx=λ時(shí)，f（x）取得最小值為-1-2λ²．
當(dāng)λ＞1時(shí)，則cosx=1時(shí)，f（x）取得最小值為1-4λ．
由已知得1-4λ=-

3

2

，λ=

5

8

，這與λ＞1相矛盾．
綜上所述，λ=

1

2

為所求．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．