Question

9．已知圓C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0，則圓心C的軌跡方程為2x+y-6=0，直線l經(jīng)過點（-1，1），若對任意的實數(shù)m，直線l被圓C截得的弦長都是定值，則直線l的一般式方程為2x+y+1=0．

Answer 1

分析 利用配方法將圓的方程化為標準方程，求出圓心坐標再由消參法，消去m求出圓心C的軌跡方程；根據(jù)弦長是定值可得直線l與圓心所在直線平行，由平行條件設(shè)直線l的方程，把點（-1，1）可得結(jié)論．

解答 解：將圓C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0化為標準式得
[x-（3-m）]²+（y-2m）²=9，∴圓心C（3-m，2m），
令x=3-m，y=2m，消去m得2x+y-6=0，
∴圓心C的軌跡方程是直線2x+y-6=0；
又∵直線l經(jīng)過點（-1，1），
∵對任意的實數(shù)m，直線l被圓C截得的弦長都是定值，
∴直線l與圓心所在直線平行，
∴設(shè)l方程為2x+y+C=0，將（-1，1）代入得C=1，
∴直線l的方程為2x+y+1=0，
故答案為：2x+y-6=0；2x+y+1=0．

點評 本題考查圓的標準方程，直線和圓的位置關(guān)系，考查分析、解決問題的能力，屬于中檔題．