Question

7．設(shè)a，b，c＞0，若abc=a+b+c，且$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=2，則abc的最小值為（　　）

• A． 1
• B． 6
• C． 8
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 a，b，c＞0，abc=a+b+c，可得a=$\frac{b+c}{bc-1}$＞0，bc＞1．由$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=2，可得b+c=2bc．于是abc=$\frac{bc（b+c）}{bc-1}$=$\frac{2^{2}{c}^{2}}{bc-1}$，令bc=t＞1，f（t）=$\frac{2{t}^{2}}{t-1}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵a，b，c＞0，abc=a+b+c，
∴a=$\frac{b+c}{bc-1}$＞0，解得bc＞1．
∵$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=2，∴b+c=2bc．
則abc=$\frac{bc（b+c）}{bc-1}$=$\frac{2^{2}{c}^{2}}{bc-1}$，
令bc=t＞1，則f（t）=$\frac{2{t}^{2}}{t-1}$，f′（t）=$\frac{2t（t-2）}{（t-1）^{2}}$，
可得：t=2時(shí)，f（t）取得最小值8．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．