Question

4．（重點(diǎn)中學(xué)做）如圖所示，設(shè)A，B分別是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線交線段AB于點(diǎn)M（異于點(diǎn)A，B），交橢圓于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在第一象限內(nèi)），△ABC與△ABD的面積分別為S₁與S₂．
（1）若M是線段AB的中點(diǎn)，直線OM的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，點(diǎn)P（3，1）在橢圓E上，求橢圓E的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出A，B的中點(diǎn)M，把M坐標(biāo)代入直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x得到a與b的關(guān)系，結(jié)合a²=b²+c²可求橢圓的離心率；
（2）設(shè)出C和D點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線AB的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出C和D到直線AB的距離，因?yàn)椤鰽BC和△ABD同底，所以把兩個(gè)三角形的面積比轉(zhuǎn)化為C，D到直線AB的距離比，然后借助于基本不等式求最大值．

解答 解：（1）由題意可知：A（a，0），B（0，b），
∴M（$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$），
點(diǎn)M（$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$）在y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a²=3b²，
點(diǎn)P（3，1）在橢圓上，$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，
解得a²=12，b²=4，
故橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設(shè)C（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，則$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，點(diǎn)D（-x₀，-y₀），
由題意知直線AB的方程為bx+ay-ab=0，點(diǎn)C的直線AB的上方，
∴點(diǎn)C到直線AB的距離h_C=$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}-ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
同理點(diǎn)D到直線AB的距離h_D=$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}+ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{h}_{C}}{{h}_{D}}$=$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}-ab}{b{x}_{0}+a{y}_{0}+ab}$=1-$\frac{2ab}{b{x}_{0}+a{y}_{0}+ab}$，
∵$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，$^{2}{x}_{0}^{2}+{a}^{2}{y}_{0}^{2}={a}^{2}^{2}$，
∴$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}}{2}$≤$\sqrt{\frac{^{2}{x}_{0}^{2}+{a}^{2}{y}_{0}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}ab}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)bx₀=ay₀取等號(hào)，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{\sqrt{2}a}{2}}\\{{y}_{0}=\frac{\sqrt{2}b}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$≤1-$\frac{2ab}{\sqrt{2}ab+ab}$=3-2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值為3-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，突出考查了數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，解答此題的關(guān)鍵是運(yùn)用線性規(guī)劃的知識(shí)去掉點(diǎn)到直線的距離中的絕對(duì)值．屬難題．