【題目】已知三棱錐(如圖1)的平面展開(kāi)圖(如圖2)中,四邊形為邊長(zhǎng)為的正方形,△ABE和△BCF均為正三角形,在三棱錐中:
(I)證明:平面 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)若點(diǎn)在棱上,滿足, ,點(diǎn)在棱上,且,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ);(Ⅲ) .
【解析】試題分析:第一問(wèn)取中點(diǎn),根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得,根據(jù)題中所給的邊長(zhǎng),利用勾股定理求得,利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到結(jié)果;第二問(wèn)根據(jù)題中所給的條件建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),求得面的法向量,利用法向量所成角的余弦值得出結(jié)果;第三問(wèn)利用向量間的關(guān)系,利用向量垂直的條件,利用向量的數(shù)量積等于0,得出所求的比值與的關(guān)系式,利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求得結(jié)果.
(Ⅰ)方法1:
設(shè)的中點(diǎn)為,連接, . 由題意
, ,
因?yàn)樵?/span>中, , 為的中點(diǎn)
所以,
因?yàn)樵?/span>中, , ,
所以
因?yàn)?/span>, 平面
所以平面
因?yàn)?/span>平面
所以平面 平面
方法2:
設(shè)的中點(diǎn)為,連接, .
因?yàn)樵?/span>中, , 為的中點(diǎn)
所以,
因?yàn)?/span>, ,
所以≌≌
所以
所以
因?yàn)?/span>, 平面
所以平面
因?yàn)?/span>平面
所以平面 平面
方法3:
設(shè)的中點(diǎn)為,連接,因?yàn)樵?/span>中, ,
所以
設(shè)的中點(diǎn),連接, 及.
因?yàn)樵?/span>中, , 為的中點(diǎn)
所以.
因?yàn)樵?/span>中, , 為的中點(diǎn)
所以.
因?yàn)?/span>, 平面
所以平面
因?yàn)?/span>平面
所以
因?yàn)?/span>, 平面
所以平面
因?yàn)?/span>平面
所以平面 平面
(Ⅱ)由平面, ,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則
, , , ,
由平面,故平面的法向量為
由,
設(shè)平面的法向量為,則
由得:
令,得, ,即
由二面角是銳二面角,
所以二面角的余弦值為
(Ⅲ)設(shè), ,則
令
得
即,μ是關(guān)于λ的單調(diào)遞增函數(shù),
當(dāng)時(shí), ,
所以
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱(chēng)為可入肺顆粒物,我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世界衛(wèi)生組織設(shè)定的最寬限值,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí);在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí);在75微克/立方米及其以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).
某試點(diǎn)城市環(huán)保局從該市市區(qū)2016年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取6天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測(cè)值莖葉圖(十位為莖,個(gè)位為葉)如圖所示,若從這6天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出2天,
(1)求恰有一天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率;
(2)求至多有一天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,兩條相交線段、的四個(gè)端點(diǎn)都在橢圓上,其中直線的方程為,直線的方程為.
(1)若,,求的值;
(2)探究:是否存在常數(shù),當(dāng)變化時(shí),恒有?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面是直角梯形, , ,
,點(diǎn)在線段上,且, , 平面.
(1)求證:平面平面;
(2)當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí),求四棱錐的表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)有唯一零點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),的在數(shù)集上都有定義,對(duì)于任意的,當(dāng)時(shí),或成立,則稱(chēng)是數(shù)集上的限制函數(shù).
(1)求在上的限制函數(shù)的解析式;
(2)證明:如果在區(qū)間上恒為正值,則在上是增函數(shù);[注:如果在區(qū)間上恒為負(fù)值,則在區(qū)間上是減函數(shù),此結(jié)論無(wú)需證明,可以直接應(yīng)用]
(3)利用(2)的結(jié)論,求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,求的取值范圍(其中為自然對(duì)數(shù)的底);
(2)令,如果圖象與軸交于,,中點(diǎn)為,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(1)求的單調(diào)區(qū)間,若有最值,請(qǐng)求出最值;
(2)是否存在正常數(shù),使的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且在該公共點(diǎn)處有共同的切線?若存在,求出的值,以及公共點(diǎn)坐標(biāo)和公切線方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】只紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
27 | 81 | 3.6 | 152 | 2936 | 38 |
其中
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))哪一個(gè)更適宜作為紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方程類(lèi)型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;
(3)根據(jù)(2)的結(jié)果,當(dāng)溫度為37度時(shí)紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y的預(yù)報(bào)值是多少?
參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其線性回歸方程的系數(shù)的最小二乘法估計(jì)值為,
參考數(shù)據(jù):,,
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