Question

【題目】如圖，兩條相交線段、的四個(gè)端點(diǎn)都在橢圓上，其中直線的方程為，直線的方程為.

（1）若，，求的值；

（2）探究：是否存在常數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，恒有？

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，見(jiàn)解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組求得，根據(jù)，利用，列出方程，即可求解；

（2）設(shè)，由，得，利用韋達(dá)定理，結(jié)合橢圓的對(duì)稱(chēng)性，分類(lèi)討論，即可得到結(jié)論.

（1）由題意，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，解得，

因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，

又由，聯(lián)立方程組，解得或.

因?yàn)?/span>平分，所以（不適合題意），所以.

（2）設(shè)，

由，整理得，

其中，

若存在常數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，恒有，

則由（1）可知只可能是，

①當(dāng)時(shí)，取，等價(jià)于，

即，

即，

即，此式子恒成立，

所以存在常數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，恒有；

②當(dāng)時(shí)，取，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，同理可知結(jié)論也成立，

綜上可得，存在常數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，恒有；