13.設(shè)x,y,z為整數(shù),且x2+y2+z2=3,證明:
(1)xy+yz+zx≤3;
(2)$\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$≥3.

分析 (1)運(yùn)用重要不等式可得x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2zx,累加即可得證;
(2)由柯西不等式可得(xy+yz+zx)($\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$)≥($\sqrt{xy•\frac{{z}^{2}}{xy}}$+$\sqrt{yz•\frac{{x}^{2}}{yz}}$+$\sqrt{zx•\frac{{y}^{2}}{zx}}$)2,化簡整理,結(jié)合(1)的結(jié)論即可得證.

解答 證明:(1)由x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2zx,
相加可得x2+y2+z2≥xy+yz+zx,
由x2+y2+z2=3,可得xy+yz+zx≤3(當(dāng)x=y=z取得等號);
(2)由柯西不等式可得(xy+yz+zx)($\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$)
≥($\sqrt{xy•\frac{{z}^{2}}{xy}}$+$\sqrt{yz•\frac{{x}^{2}}{yz}}$+$\sqrt{zx•\frac{{y}^{2}}{zx}}$)2=(z+x+y)2
=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=3+2(xy+yz+zx),
則$\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$≥2+$\frac{3}{xy+yz+zx}$,
由(1)可得$\frac{1}{xy+yz+zx}$≥$\frac{1}{3}$,
則$\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$≥2+1=3,
故原不等式成立.

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明,注意運(yùn)用重要不等式和柯西不等式,以及不等式的性質(zhì),考查推理能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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如果無窮數(shù)列滿足下列條件:①;②存在實(shí)數(shù),使得,其中,那么我們稱數(shù)列為Ω數(shù)列.

(1)設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,是其前項(xiàng)和,,,證明:數(shù)列是Ω數(shù)列;

(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為,且是Ω數(shù)列,求的取值范圍;

(3)設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的Ω數(shù)列,問:是否存在常數(shù),使得,并證明你的結(jié)論.

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(Ⅰ)若A∪B=R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
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1.已知a為實(shí)常數(shù),函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax-1.
(Ⅰ)討論函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)與g(x)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),其中x1<x2
   (ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
   (ⅱ)求證:-1<y1<0,且e${\;}^{{y}_{1}}$+e${\;}^{{y}_{2}}$>2.(注:e為自然對數(shù)的底數(shù))

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8.已知$a={log_2}{3^{-1}}$,${(\frac{1}{2})^b}=5$,c=log32.則a,b,c的大小關(guān)系為:b<a<c.

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18.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若存在常數(shù)M>0,使|f(x)|≤M|x|對一切實(shí)數(shù)x均成立,則稱f(x)為“倍約束函數(shù)”.現(xiàn)給出下列函數(shù):
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