分析 (1)運(yùn)用重要不等式可得x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2zx,累加即可得證;
(2)由柯西不等式可得(xy+yz+zx)($\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$)≥($\sqrt{xy•\frac{{z}^{2}}{xy}}$+$\sqrt{yz•\frac{{x}^{2}}{yz}}$+$\sqrt{zx•\frac{{y}^{2}}{zx}}$)2,化簡整理,結(jié)合(1)的結(jié)論即可得證.
解答 證明:(1)由x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2zx,
相加可得x2+y2+z2≥xy+yz+zx,
由x2+y2+z2=3,可得xy+yz+zx≤3(當(dāng)x=y=z取得等號);
(2)由柯西不等式可得(xy+yz+zx)($\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$)
≥($\sqrt{xy•\frac{{z}^{2}}{xy}}$+$\sqrt{yz•\frac{{x}^{2}}{yz}}$+$\sqrt{zx•\frac{{y}^{2}}{zx}}$)2=(z+x+y)2
=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=3+2(xy+yz+zx),
則$\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$≥2+$\frac{3}{xy+yz+zx}$,
由(1)可得$\frac{1}{xy+yz+zx}$≥$\frac{1}{3}$,
則$\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$≥2+1=3,
故原不等式成立.
點(diǎn)評 本題考查不等式的證明,注意運(yùn)用重要不等式和柯西不等式,以及不等式的性質(zhì),考查推理能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015-2016學(xué)年江蘇泰興中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如果無窮數(shù)列滿足下列條件:①;②存在實(shí)數(shù),使得,其中,那么我們稱數(shù)列為Ω數(shù)列.
(1)設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,是其前項(xiàng)和,,,證明:數(shù)列是Ω數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為,且是Ω數(shù)列,求的取值范圍;
(3)設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的Ω數(shù)列,問:是否存在常數(shù),使得,并證明你的結(jié)論.
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A. | $\frac{19}{3}$ | B. | $\frac{16}{3}$ | C. | $\frac{13}{3}$ | D. | $\frac{10}{3}$ |
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