Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x，2），$\overrightarrow$=（1，y），其中x＞0，y＞0，若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4，求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4，可得x+2y=4，再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4，∴x+2y=4，
又x＞0，y＞0，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{4}（x+2y）（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）$=$\frac{1}{4}（3+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}）$$≥\frac{1}{4}（3+2\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{x}{y}}）$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$y=$4（\sqrt{2}-1）$時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值為$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．