Question

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{3}{1+2co{s}^{2}θ}$，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$．
（Ⅰ）寫出曲線C₁與直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)Q為曲線C₁上一動(dòng)點(diǎn)，求Q點(diǎn)到直線l距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：3=ρ²+2ρ²cos²θ，由ρ²=x²+y²，$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosx}\\{y=ρsinx}\end{array}\right.$即可求得3x²+y²=3，ρ=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$．直線l的直角坐標(biāo)方程x+y=4；
（Ⅱ）由題意可知：Q（cos θ，$\sqrt{3}$sin θ），則點(diǎn)Q到直線l的距離d=$\frac{|cosθ+\sqrt{3}sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{丨2（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）-4丨}{\sqrt{2}}$，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得Q點(diǎn)到直線l距離的最小值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{3}{1+2co{s}^{2}θ}$，3=ρ²+2ρ²cos²θ，由ρ²=x²+y²，$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosx}\\{y=ρsinx}\end{array}\right.$
∴3=x²+y²+2x²，
整理得：3x²+y²=3，
曲線C₁的方程3x²+y²=3，
ρ=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$．則ρsinθ+ρcosθ=4，即x+y=4，
直線l的直角坐標(biāo)方程：x+y=4．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)Q（cos θ，$\sqrt{3}$sin θ），則點(diǎn)Q到直線l的距離d=$\frac{|cosθ+\sqrt{3}sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{丨2（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）-4丨}{\sqrt{2}}$，
=$\frac{丨2sin（θ+\frac{π}{6}）-4丨}{\sqrt{2}}$≥$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)θ+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，
即θ=2kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z）時(shí)，
Q點(diǎn)到直線l距離的最小值為$\sqrt{2}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．